פרדוקס המעטפות: החישוב המוזר שיעזור לכם להמר

דמיינו לעצמכם שאתם משחקים במשחק הבא: מולכם נמצאות שתי מעטפות זהות לחלוטין, אשר בכל אחד מהן יש סכום כסף מסוים. אינכם יודעים כמה כסף יש בכל מעטפה, אך אתם יודעים שבאחת מהן יש סכום כפול מאשר בשנייה. אתם לוקחים באקראי את אחת המעטפות (כי כאמור אין הבדל בינהן), וכעת ניתנת לכם בחירה: האם לקחת את הכסף שבתוך המעטפה, או להחליף בין המעטפות ולקחת את המעטפה השניה. מה תעשו?

לכאורה זו נראית בעייה טיפשית, אין שום דרך לדעת אם לקחנו דווקא את המעטפה עם הסכום הגדול, לכן לא אמור להיות הבדל בין החלפה לאי החלפה. אלא שהתשובה אולי תפתיע אתכם.

כבר לפני 400 שנה ניסה המתמטיקאי בלז פסקל לקבוע קווים מנחים שלפיהם כדאי לקבל החלטות בעולם הכלכלי. פסקל היה חובב משחקי מזל מושבע, והוא קיווה שהמתמטיקה תעזור לו להחליט על מה להמר ומתי. הוא טען שאנחנו צריכים לבחור בדרך שתתן לנו את התוחלת (הממוצע המשוקלל) הגבוהה ביותר, כלומר אנחנו צריכים לשקלל פנימה את הרווח הצפוי מכל החלטה, וכן את הסיכוי לזכות ברווח הזה.

לשם הנוחות, נחליט שבמעטפה שבחרנו יש 100 שקלים (אם כי זה באמת יכול להיות כל סכום, וכמו שתראו, אין סיבה לפתוח גם את המעטפה). כעת אנחנו ניצבים בין שתי אפשרויות: הראשונה היא לשמור את המעטפה שלנו, ואז להרוויח 100 שקלים. אם נחליט להחליף את המעטפה, יש סיכוי של 50% שנזכה ב-200 שקלים, וסיכוי של 50% שנזכה ב-50. הממוצע בין 200 ל-50 הוא 125, שהוא גבוה יותר מ-100, ולכן תמיד, בכל מצב, משתלם לנו להחליף את המעטפות ולקחת את המעטפה השניה.

זו נשמעת אסטרטגיה מוזרה. הרי אין הבדל בין המעטפות, ובאותה המידה יכולנו לקחת את המעטפה השנייה, וגם אז היה עדיף לנו להחליף בין המעטפות. ולכן זהו פרדוקס.

אבל גם את הפרדוקס הזה אפשר לפתור. יש חשיבות גדולה לאופן החישוב, מסתבר, שכאשר מסתכלים על הדברים בצורה מעט שונה, רואים שלשתי הבחירות יש תוחלות זהות, כלומר שאין הבדל בין אסטרטגית ההחלפה לאסטרטגית שמירת המעטפה.
לצורך כך אנחנו צריכים לצאת מנקודת מוצא אחרת, שהיא נכונה יותר על הסיטואציה. סכום הכספים בכל מעטפה נקבע מראש, ולכן לא נכון להסתכל על ההסתברות באופן לא מותנה, אלא כך:

בשתי המעטפות יש סכום משותף של 3x.
אם אבחר לשמור את המעטפה שלי, התוחלת של הבחירה היא 1.5x (הממוצע בין x ל-2x, שתי המעטפות שבינהן ניתן לבחור).
אם אבחר להחליף את המעטפה שלי, האם יהיה לי רווח נוסף?
בסיכוי של 50%, אם בחרתי את המעטפה שמכילה x, ארוויח עוד x, אבל בסיכוי של 50%, אם בחרתי את המעטפה שמכילה 2x, אפסיד x. יש לי סיכוי שווה להפסיד ולהרוויח את אותו הסכום, ולכן לא יהיה לי בממוצע רווח נוסף והתוחלת גם פה נשארת 1.5x, ואין הבדל בין שתי המעטפות.

הטקטיקה של פסקל היא “הדרך הרציונלית” לקבל החלטה במשחק הזה. אולם בני אדם לא תמיד מקבלים החלטות בצורה קרה. שיקולים אחרים יכולים להשפיע על קבלת ההחלטות שלנו. ראשית, בני אדם לרוב שונאי סיכון ושונאי הפסד, וברגע שבחרנו מעטפה יש לנו ביד סכום מסוים של כסף, יש סיכוי לא קטן שנפסיד את חציו, אז רבים יחשבו שבטוח יותר להשאר כבר עם מה שיש לנו ביד.

מלבד זאת, אנחנו נותנים לכסף ערך יחסי, ולא ערך מוחלט. מאה שקלים אינם אותם מאה שקלים בכל סיטואציה. אם יהיו לכם עשרה שקלים ביד וייתנו לכם עוד מאה, תרגישו שקיבלתם המון, לעומת זאת אם תהיו עם מליון שקלים ביד, לעוד מאה שקלים לפה או לשם אין הרבה חשיבות. זה גם משפיע על קבלת ההחלטות שלנו.

אלו רק שתי דוגמאות לכך שעל אף שבמקרה הנ”ל יש אסטרטגיה מתמטית פשוטה (גם אם היא לא מובנת מאליה), לא בהכרח כולנו נבחר בה. המון שיקולים עומדים בפנינו כשאנחנו מקבלים החלטות, והנסיון להבין אותם לעומק הוא מה שעומד בבסיס מחקרם של כל העוסקים בעולם של תורת הרציונליות.

לכתבה שלי בדה-מרקר